加憲給的題目－費馬點

上次老師出的題目...
(有點忘了...但題目差不多啦...)
一ΔABC
A(0，0) B(1，0) C(0，4)
給定ΔABC內部一點Q使QA線段+QB線段+QC線段為最小值。
求:
1.
QA線段+QB線段+QC線段=?
2.
Q點座標為何?
~
這個算是競試的題目吧...
費馬點---
費馬與費馬點基本介紹
證明如下:
(轉自中華民國第四十八屆中小學科學展覽會作品說明書的國中組數學科展 臺北縣立福和國民中學-利用回復路徑追蹤費馬點)
1、作圖方法：(1)以任意兩邊AB線段、AC線段為邊長作正ΔABQ與正ΔACS ，如圖2 −1。
                          (2)作正ΔABQ與正ΔACS 的外接圓，則兩外接圓的交點P即為ΔABC的費馬點。

2、證明過程：(內容我自己修改了一下~)
(1).連PA線段、PB線段、PC線段
因為P、A、Q、B四點共圓，P、A、S、C四點共圓
所以∠APB=180度-60度=120度；∠APC=180度-60度=120度
推得∠BPC=120度
(2).以PB線段為邊作正ΔPBR，連PQ線段，如圖2 − 2。
因為AB線段=BQ線段，∠ABP=60度−∠ABR=∠QBR
所以ΔABP≅ΔQBR(SAS全等性質)
可得∠BRQ=∠APB=120度，PA線段=QR線段
(3).因為∠BRQ +∠BRP=120度+60度=180度
∠BPR+∠BPC=120度+60度=180度
所以B、R、P、C四點共線
可得PA線段+PB線段+PC線段=QR線段+RP線段+PC線段=QC線段為最小值，
即P點為ΔABC之費馬點。
特別地，當∠BAC ≥120°，則A點為ΔABC的費馬點。
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第2題要求的話大概得花5個小時以上吧=ˇ=(超級大亂碼...)
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這邊有費馬點的相關資料~
1、2 (benice提供)
順便給個好東西...分享給有意參加數學競賽的同學~
(轉自YLL討論網)(P.S.這是個很棒的數學討論區...有興趣可以去看看，或者問問題。比較起奇摩知識家...回答的通常不專業...也都只是看在點數才回答的人比較多，這邊可是很棒的呢~即使不是會員的問題...只要深度夠，通常都會得到令人滿意的解答。)
高中數學競賽所須知道的數學知識
為充分發展對於數學方面有才能的學生，要重視能力的培養......，著重培養學生的運算能力、邏輯思维能力和空間想象能力，要使學生逐步學會分析、综合、歸纳、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時，要重視培養學生的獨立思考和自學的能力。
在競賽中對同樣的知識内容的理解程度與靈活運用能力，特别是方法與技巧掌握的熟繫程度，有更高的要求。而“課堂教學為主，課外活動為輔”是必須遵 循的原則。因此，本大綱所列的課外講授内容必須充分考慮學生的實際情況，分階段、分層次讓學生逐步地去掌握，并且要貫徹“少而精”的原則，這樣才能加強基 礎，不斷提高。
1、平面幾何
基本要求：掌握國中數學競賽大綱所確定的所有内容。
補充要求：面積和面積方法。
幾個重要定理：梅涅勞斯定理、西瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
幾個重要的極值：到三角形三頂點距離之和最小的點--費馬點。到三角形三頂點距離的平方和最小的點--重心。三角形内到三邊距離之積最大的點--重心。
幾何不等式：
簡單的等周問題。了解下述定理：
在周長一定的ｎ邊形的集合中，正ｎ邊形的面積最大。
在周長一定的簡單閉曲線的集合中，圓的面積最大。
在面積一定的ｎ邊形的集合中，正ｎ邊形的周長最小。
在面積一定的簡單閉曲線的集合中，圓的周長最小。
幾何中的運動：反射、平移、旋轉。
複數方法、向量方法。
平面凸集、凸包及應用。
2、代數
周期函數與周期，帶绝對值的函數的圖像。
三倍角公式，三角形的一些簡單的恆等式，三角不等式。
第二數學歸纳法。
遞歸，一階、二階遞歸，特徵方程法。
函數迭代，求ｎ次迭代，簡單的函數方程。
ｎ個變元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及應用。
複數的指數形式，歐拉公式，棣美佛定理，單位根，單位根的應用。
圓排列，有重複的排列與組合，簡單的組合恆等式。
一元n次方程（多項式）根的個數，根與係數的關係，實係數方程虚根成對定理。
簡單的初等數論問題，除國中大綱中所包括的内容外，還應包括無窮遞降法，同餘，歐幾里得除法，非負最小完全剩餘類，高斯函數，費馬小定理，歐拉函數，孫子定理，格點及其性質。
3、立體幾何
多面角，多面角的性質。三面角、直三面角的基本性質。
正多面體，歐拉定理。
體積證法。
截面，會作截面、表面展開圖。
4、平面解析幾何
直線的法線式，直線的極坐標方程，直線束及其應用。
二元一次不等式表示的區域。
三角形的面積公式。
圓錐曲線的切線和法線。
圓的幂和根軸。
5、其它
抽屜原理。
容斥原理。
極端原理。
集合的劃分。
覆蓋。