三角函數2題

以下兩題三角函數題目是我學校高一時的段考加分題~

第一題
證明：

( tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) )²
= tan²(A/2) + tan²(B/2) + tan²(C/2) + 2( tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) )
= (1/2)( (tan(A/2) - tan(B/2))² + (tan(B/2) - tan(C/2))² + (tan(C/2) - tan(A/2))² )
+ 3( tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) )
= (1/2)( (tan(A/2) - tan(B/2))² + (tan(B/2) - tan(C/2))² + (tan(C/2) - tan(A/2))² ) + 3(1)

∵ tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) = √3

∴ (tan(A/2) - tan(B/2))² + (tan(B/2) - tan(C/2))² + (tan(C/2) - tan(A/2))² = 0

∴ tan(A/2) - tan(B/2) = 0 且 tan(B/2) - tan(C/2) = 0 且 tan(C/2) - tan(A/2) = 0

∴ tan(A/2) = tan(B/2) = tan(C/2)

∴ A = B = C，即 △ABC 為正三角形。■


(補充說明)
以下證明上面用到的恆等式 tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) = 1。

證明：

∵ A,B,C 為三角形三內角
∴ tan( (A+B)/2 ) = tan (π/2 - C/2) = cot(C/2) = 1/tan(C/2)

由和角公式 tan( (A+B)/2 ) = ( tan(A/2) + tan(B/2) )/( 1 - tan(A/2)tan(B/2) )

所以 1/tan(C/2) = ( tan(A/2) + tan(B/2) )/( 1 - tan(A/2)tan(B/2) )
∴ tan(C/2)( tan(A/2) + tan(B/2) ) = 1 - tan(A/2)tan(B/2)
∴ tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) = 1。
--benice的証明
第二題

--benice的証明
2θ+3θ+4θ=180°, θ=20°
a/sin40°=b/sin60°=c/sin80°
4b²/(a+c)²-1=4sin²60°/(sin40°+sin80°)²-1
=sin²60°/(sin²60°cos²20°)-1
=1/cos²20°-1
=tan²20°=tan²θ
--朱某的証明
轉自YLL~

整篇內容是從這篇過來的
因為我數學方面不太行...
所以只好發問了@@"~
網路上的大家都很厲害呢...
對了...
YLL是個很棒的討論網呢~!
我很多文章也都從裡面找的...
因為有興趣所以分享出來~