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國立中央大學-數學資優培育研習營&2011成功大學數學研習營-數海爭霸

 

國立中央大學-數學資優培育研習營

 

2011成功大學數學研習營-數海爭霸

三角函數2題

以下兩題三角函數題目是我學校高一時的段考加分題~

第一題
證明：

( tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) )²
= tan²(A/2) + tan²(B/2) + tan²(C/2) + 2( tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) )
= (1/2)( (tan(A/2) - tan(B/2))² + (tan(B/2) - tan(C/2))² + (tan(C/2) - tan(A/2))² )
+ 3( tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) )
= (1/2)( (tan(A/2) - tan(B/2))² + (tan(B/2) - tan(C/2))² + (tan(C/2) - tan(A/2))² ) + 3(1)

∵ tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) = √3

∴ (tan(A/2) - tan(B/2))² + (tan(B/2) - tan(C/2))² + (tan(C/2) - tan(A/2))² = 0

∴ tan(A/2) - tan(B/2) = 0 且 tan(B/2) - tan(C/2) = 0 且 tan(C/2) - tan(A/2) = 0

∴ tan(A/2) = tan(B/2) = tan(C/2)

∴ A = B = C，即 △ABC 為正三角形。■


(補充說明)
以下證明上面用到的恆等式 tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) = 1。

證明：

∵ A,B,C 為三角形三內角
∴ tan( (A+B)/2 ) = tan (π/2 - C/2) = cot(C/2) = 1/tan(C/2)

由和角公式 tan( (A+B)/2 ) = ( tan(A/2) + tan(B/2) )/( 1 - tan(A/2)tan(B/2) )

所以 1/tan(C/2) = ( tan(A/2) + tan(B/2) )/( 1 - tan(A/2)tan(B/2) )
∴ tan(C/2)( tan(A/2) + tan(B/2) ) = 1 - tan(A/2)tan(B/2)
∴ tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) = 1。
--benice的証明
第二題

--benice的証明
2θ+3θ+4θ=180°, θ=20°
a/sin40°=b/sin60°=c/sin80°
4b²/(a+c)²-1=4sin²60°/(sin40°+sin80°)²-1
=sin²60°/(sin²60°cos²20°)-1
=1/cos²20°-1
=tan²20°=tan²θ
--朱某的証明
轉自YLL~

整篇內容是從這篇過來的
因為我數學方面不太行...
所以只好發問了@@"~
網路上的大家都很厲害呢...
對了...
YLL是個很棒的討論網呢~!
我很多文章也都從裡面找的...
因為有興趣所以分享出來~

數學笑話

以下是幾個覺得挺好笑的笑話~~
不過都從同一個地方轉的就是了...
1.
微積分老師
有天一位同學跟微積分老師說：「老師啊 ... 我今天心情很不好 ...」
老師就說：「那我幫你用微積分來卜卦看看 ！ 」
然後要求同學寫幾個字 .....
同學寫了..... " 麻煩 " 兩個字
老師看了之後 ，笑笑的說：「你一定是被爸媽罵了。 」
同學說：「哇 ！老師啊 ... 你怎麼那麼厲害， 一下就知道了？ 」
老師說：「你別急 ，我慢慢解釋給你聽 .....
首先我們先用一次微分把麻煩的 "麻" 字的蓋子去掉，
不是就剩下 " 林 " 了嗎？
然後也把 "煩" 這個字用二次微分，把 " 火 " 這個字去掉，
然後在把剩下的 " 頁 " 這個字的頭頂也去掉，
不是就剩下 "貝" 了嗎 ？
此時我們可得知  “林貝”， 這就說明你被你爸爸罵了啊！

現在還沒完喔 .................
你再把剩下的 "貝" 再一次微分把下面去掉，
就得到 "目" 這個字，
此時又因此得到 “林目” 這也說明你也有被你媽媽罵囉 ！」
這位同學聽了之後 , 當場  .......  #@$%^&*!~
2.
一天，有位數學家覺得他實在是太厭倦數學了，想換個行業試試，於是他走消防局宣佈要成為消防員。消防隊長：「嗯，你看來是個不錯的年輕人，我很高興能夠顧 用你，但首先呢，有個小小的測試。」

         於是消防隊長帶他到消防局後面巷子裡，那兒有個垃圾桶、水龍頭和水管。消防隊長：「好，假如你在這個巷子裡看到垃圾桶著火了，你會怎麼做？」數學家回答： 「我但把水管接上水龍頭，然後打開水龍頭將火澆熄。」

         消防隊長：「真是太棒了，很好。那我再問你一個問題：如果你走在巷子裡發現垃圾並沒著火，你怎麼辨？」此時，數學家被這個問題給困住了，他思考了許久然後 說：「我會把垃圾桶點燃火。」消防聽了隊長大叫：「什麼？你在做什麼？你為什麼要把垃圾桶點燃火？」數學家回答：「嗯，這樣我就可以把這個問題簡化 (reduced) 到之前那個我己經解開的問題上了！」
3.
有一個英文老師出了一道這樣的難題，題目是這樣子的:
____ is better than the god.____ is worse than the evil.If you eat ____,you will die.(三個空格必須是同一個字)
有一個數學老師用數學的方法解出來了,他的解法如下:
設上帝之善是＋∞，惡魔之惡是－∞，令所求為 x，則 x＞＋∞，且 x＜－∞，∴x屬於空集合，∴ x=nothing。
answer :Nothing is better than the god.(沒有什麼比上帝更好。)Nothing is worse than the evil. (也沒有什麼比惡魔更壞。)If you eat nothing, you will die.(如果你什麼也沒有吃，那麼你就會死！)
4.
有一位數學家得了精神病，他覺得自己是微分的主宰者，朋友們將他送到精神病院希望他能好起來。每天，他都會在院內四處閒逛，見人就恐嚇地說：「我要把你微分掉！」

        有一天，院裡來了一個新病人，像往常一樣地，他瞪著那位病人大聲吼：「我要把你微分掉！」但這次，那位病人的表情一點也不變，數 學家十分訝異，提起精神來狠狠地盯著新病人，更大聲地說：「我要把你微分掉！」但那位病人依然一點反應也沒有，數學家氣極了，最後他放聲大叫：「我要把你 微分掉！」

       病人平靜地看了數學家一眼，他說：「你想怎麼微分我都無所謂，因為我是 e^X 」
~
轉自YLL討論網

加憲的飲料題(Connell 數列)

雖然很遺憾不能貼在這裡...
但只能請看到這篇文章的人自己連過來看囉...
加憲的飲料題(Connell 數列)
這也是我的BLOG~
本來數學的文章也都參雜在裡面~
但想了想卻希望把文章分出來...
就全部移植過來了...
可是這篇文章要修很久~
所以我嫌麻煩...
不過看到的希望能去看看唷~!
這題題目我覺得很棒~!

經典問題

一題補習班主任出的，只是稍微拿出來做講解而已。
應該是個很多人都有疑惑的問題，順便題一下囉。
小明跟兩個朋友一起去旅行
旅館的費用是３０元
於是他們三個人便一人出１０元
但剛好遇到週年慶所以便宜５元變成２５元
老 闆覺得他們三個人５元不好分
便自己留了２元找他們一人１元
所以他們總共是一人出了９元
但９ｘ３＝２７
２７ 再加上老闆Ａ的２元＝２９
那剩下來的１元跑去哪了？？

我的想法是:
覺得根本就從頭就錯啦~
別跟著題目走~
因為便宜5$所以實際上只要付25$
所以平均每人花費是25/3
現在開始加總~
25/3 再加上每個人都拿到1$
所以現在已經知道其中的28/3了~
因為這是三個人平均的錢~
乘以3之後再加上他A走的2$
就會 是28$+2$=30$了~
(題目本身的陷阱千萬別跳進去~)