三角函數2題

以下兩題三角函數題目是我學校高一時的段考加分題~

第一題
證明：

( tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) )²
= tan²(A/2) + tan²(B/2) + tan²(C/2) + 2( tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) )
= (1/2)( (tan(A/2) - tan(B/2))² + (tan(B/2) - tan(C/2))² + (tan(C/2) - tan(A/2))² )
+ 3( tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) )
= (1/2)( (tan(A/2) - tan(B/2))² + (tan(B/2) - tan(C/2))² + (tan(C/2) - tan(A/2))² ) + 3(1)

∵ tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) = √3

∴ (tan(A/2) - tan(B/2))² + (tan(B/2) - tan(C/2))² + (tan(C/2) - tan(A/2))² = 0

∴ tan(A/2) - tan(B/2) = 0 且 tan(B/2) - tan(C/2) = 0 且 tan(C/2) - tan(A/2) = 0

∴ tan(A/2) = tan(B/2) = tan(C/2)

∴ A = B = C，即 △ABC 為正三角形。■


(補充說明)
以下證明上面用到的恆等式 tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) = 1。

證明：

∵ A,B,C 為三角形三內角
∴ tan( (A+B)/2 ) = tan (π/2 - C/2) = cot(C/2) = 1/tan(C/2)

由和角公式 tan( (A+B)/2 ) = ( tan(A/2) + tan(B/2) )/( 1 - tan(A/2)tan(B/2) )

所以 1/tan(C/2) = ( tan(A/2) + tan(B/2) )/( 1 - tan(A/2)tan(B/2) )
∴ tan(C/2)( tan(A/2) + tan(B/2) ) = 1 - tan(A/2)tan(B/2)
∴ tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) = 1。
--benice的証明
第二題

--benice的証明
2θ+3θ+4θ=180°, θ=20°
a/sin40°=b/sin60°=c/sin80°
4b²/(a+c)²-1=4sin²60°/(sin40°+sin80°)²-1
=sin²60°/(sin²60°cos²20°)-1
=1/cos²20°-1
=tan²20°=tan²θ
--朱某的証明
轉自YLL~

整篇內容是從這篇過來的
因為我數學方面不太行...
所以只好發問了@@"~
網路上的大家都很厲害呢...
對了...
YLL是個很棒的討論網呢~!
我很多文章也都從裡面找的...
因為有興趣所以分享出來~

數學笑話

以下是幾個覺得挺好笑的笑話~~
不過都從同一個地方轉的就是了...
1.
微積分老師
有天一位同學跟微積分老師說：「老師啊 ... 我今天心情很不好 ...」
老師就說：「那我幫你用微積分來卜卦看看 ！ 」
然後要求同學寫幾個字 .....
同學寫了..... " 麻煩 " 兩個字
老師看了之後 ，笑笑的說：「你一定是被爸媽罵了。 」
同學說：「哇 ！老師啊 ... 你怎麼那麼厲害， 一下就知道了？ 」
老師說：「你別急 ，我慢慢解釋給你聽 .....
首先我們先用一次微分把麻煩的 "麻" 字的蓋子去掉，
不是就剩下 " 林 " 了嗎？
然後也把 "煩" 這個字用二次微分，把 " 火 " 這個字去掉，
然後在把剩下的 " 頁 " 這個字的頭頂也去掉，
不是就剩下 "貝" 了嗎 ？
此時我們可得知  “林貝”， 這就說明你被你爸爸罵了啊！

現在還沒完喔 .................
你再把剩下的 "貝" 再一次微分把下面去掉，
就得到 "目" 這個字，
此時又因此得到 “林目” 這也說明你也有被你媽媽罵囉 ！」
這位同學聽了之後 , 當場  .......  #@$%^&*!~
2.
一天，有位數學家覺得他實在是太厭倦數學了，想換個行業試試，於是他走消防局宣佈要成為消防員。消防隊長：「嗯，你看來是個不錯的年輕人，我很高興能夠顧 用你，但首先呢，有個小小的測試。」

         於是消防隊長帶他到消防局後面巷子裡，那兒有個垃圾桶、水龍頭和水管。消防隊長：「好，假如你在這個巷子裡看到垃圾桶著火了，你會怎麼做？」數學家回答： 「我但把水管接上水龍頭，然後打開水龍頭將火澆熄。」

         消防隊長：「真是太棒了，很好。那我再問你一個問題：如果你走在巷子裡發現垃圾並沒著火，你怎麼辨？」此時，數學家被這個問題給困住了，他思考了許久然後 說：「我會把垃圾桶點燃火。」消防聽了隊長大叫：「什麼？你在做什麼？你為什麼要把垃圾桶點燃火？」數學家回答：「嗯，這樣我就可以把這個問題簡化 (reduced) 到之前那個我己經解開的問題上了！」
3.
有一個英文老師出了一道這樣的難題，題目是這樣子的:
____ is better than the god.____ is worse than the evil.If you eat ____,you will die.(三個空格必須是同一個字)
有一個數學老師用數學的方法解出來了,他的解法如下:
設上帝之善是＋∞，惡魔之惡是－∞，令所求為 x，則 x＞＋∞，且 x＜－∞，∴x屬於空集合，∴ x=nothing。
answer :Nothing is better than the god.(沒有什麼比上帝更好。)Nothing is worse than the evil. (也沒有什麼比惡魔更壞。)If you eat nothing, you will die.(如果你什麼也沒有吃，那麼你就會死！)
4.
有一位數學家得了精神病，他覺得自己是微分的主宰者，朋友們將他送到精神病院希望他能好起來。每天，他都會在院內四處閒逛，見人就恐嚇地說：「我要把你微分掉！」

        有一天，院裡來了一個新病人，像往常一樣地，他瞪著那位病人大聲吼：「我要把你微分掉！」但這次，那位病人的表情一點也不變，數 學家十分訝異，提起精神來狠狠地盯著新病人，更大聲地說：「我要把你微分掉！」但那位病人依然一點反應也沒有，數學家氣極了，最後他放聲大叫：「我要把你 微分掉！」

       病人平靜地看了數學家一眼，他說：「你想怎麼微分我都無所謂，因為我是 e^X 」
~
轉自YLL討論網

加憲的飲料題(Connell 數列)

雖然很遺憾不能貼在這裡...
但只能請看到這篇文章的人自己連過來看囉...
加憲的飲料題(Connell 數列)
這也是我的BLOG~
本來數學的文章也都參雜在裡面~
但想了想卻希望把文章分出來...
就全部移植過來了...
可是這篇文章要修很久~
所以我嫌麻煩...
不過看到的希望能去看看唷~!
這題題目我覺得很棒~!

經典問題

一題補習班主任出的，只是稍微拿出來做講解而已。
應該是個很多人都有疑惑的問題，順便題一下囉。
小明跟兩個朋友一起去旅行
旅館的費用是３０元
於是他們三個人便一人出１０元
但剛好遇到週年慶所以便宜５元變成２５元
老 闆覺得他們三個人５元不好分
便自己留了２元找他們一人１元
所以他們總共是一人出了９元
但９ｘ３＝２７
２７ 再加上老闆Ａ的２元＝２９
那剩下來的１元跑去哪了？？

我的想法是:
覺得根本就從頭就錯啦~
別跟著題目走~
因為便宜5$所以實際上只要付25$
所以平均每人花費是25/3
現在開始加總~
25/3 再加上每個人都拿到1$
所以現在已經知道其中的28/3了~
因為這是三個人平均的錢~
乘以3之後再加上他A走的2$
就會 是28$+2$=30$了~
(題目本身的陷阱千萬別跳進去~)

海龍

海龍（Heron of Alexandria）

生於公元10年到公元75年
 
      海龍他是一個非常重要的幾何學家和機械學家，他生長在這個對數學家生平不是很注重的年代，以致於雖然有一些文章是以海龍為名，但 是後人還是不敢

肯定是否真的是海龍本人所著。要確定海龍真正的出生年月日是非常困難的，一派的人認為他出生於公元前150年左右，另一派的人則認為他出生 於公元後250

年，前一派人的主張是基於目前並未發現有比阿基米得更晚的海龍作品，而後一派的人則認為他生長於托勒密之後，所以應該是公元後才對。

       可是最近又有第三種證據顯示，以上兩種說法都是錯誤的，因為有一個跟他同時代的詩人柯南美拉，他是一位羅馬士兵，曾在一篇文章中提過他，史學家

也在 1938年，找到其他證據支持這個論點。從他的著作中我們知道他曾經在亞歷山大博物館工作過，在那裡他傳授幾何、物理、氣體學和機械學，上課的內容

有一些 是他著作的教科書，有一些他的草稿。他的書可分成兩類，一類是理論的部分，包括了幾何、算數、天文學和物理，另一類是則是技能指南的部分，包

括了物質學、 建築學、木工和生活上使用到之技巧。大量的海龍的著作已經被發現，儘管有些地方對於是否真的是海龍本人所著還有爭議，在書上的天文學一

篇文章說，如何利用 月來測量亞歷山大城到羅馬城，在氣體學的部分如何利用空氣、河流和水壓來作機械的用途，並運用到戰場上，在物理學上，他也會利用

槓桿、滑輪、階梯或螺旋來 撐起重物，並考慮物體的中心等問題。在數學上，他已經會求三角形和正方形的面積，知道邊數是3到12的正多面體種類，錐和柱

的表面積算法，並且他已經會算 平方根的近似值了，事實上他也找出了從1到100所有的數的立方根，當然海龍最著名的當然是他證明了他的''海龍公式''

如果三角形的三邊長為a、b、c，面積為A，s= (a + b + c)/2 ，則我們可得到

A = [s (s - a)(s - b)(s - c)]/2

轉自YLL

 (班上同學畫的海龍=ˇ= 雖然這是物理課...)
分享一下高一的事情...
記得剛升上高中...
想法還是跟國中差不多...

我國中非常不注重證明~
高中剛開始當然也是~
結果高一段考時竟然給我考出了海龍公式的証明~!
我當下就慌了...
結果只會証一半...喔!不對~是兩半才對~
我會証一半...因為有印象~
然後後半不會~
結果因為有背公式...從後面也寫了一半回來=ˇ=
就證明出來了......
當時真ㄉ很瞎呀...全班好像只有2.3ㄍ人對吧~~
現在都不太注重證明的哀...
有點糟糕~~

“幻方”是數學大世界中的一朵奇葩，吸引了無數人對它的癡迷。在“幻方”的世界中，人們主要研究的是正方形幻方的填法，對其他形狀幻方的研究涉及較少。但 是有一個”六角形”幻方的填法值得我們瞭解，因爲這個幻方用了52年的光陰才讓它與世人見面，這不得不讓人們爲之驚奇和感動。

    上個世紀初，國外有個叫亞當斯的青年，他對幻方的癡迷讓人吃驚。一次，他突發奇想：爲何只研究正方形幻方呢？難道其他形狀的沒有了嗎？於是，他著手研究“六角形”的幻方。

    亞當斯理所當然首先想到的是一層的六角形幻方，即將1-7這七個自然數填到如圖1所示的圓圈中，他經過證明，這樣的六角形幻方是不能填出 來的。於是，他又著手研究二層的六角形幻方的填法。如圖2所示，將1-19這19個自然數填入圓圈中，使每一直線上的幾個數之和皆相等。

 

    亞當斯起初覺得這樣的幻方不一定很難，以爲只要幾個小時，也許就能擺出來。當他動手擺了幾次後，才感到這樣的幻方不是自己想像的那麽容易。於是， 為了更好的、更早的把這樣的幻方擺出來，他做了19塊小板，帶在身上，只要一有空，他就拿出來擺。這一擺，就讓他感到事情不是那麽的簡單。一次，兩次，無 數次；失敗，失敗，再失敗。亞當斯從1910年開始，直到1957年，用了47年的時間，還是一點頭緒也沒有。失敗，挫折，沒讓亞當斯退卻。只是爲了更早 的擺出來，勞累讓亞當斯病倒了。他躺在醫院的病床上，也沒有忘記他那心愛的、讓人難以達到的六角形幻方。功夫不負有心人，一天，亞當斯在無意之中把它擺了 出來，此時，亞當斯的心情非常激動，馬上把他的擺法記了下來。這樣，六角形的幻方擺出來了，心情高興了，病也好了。在回家的路上，不知什麽原因，亞當斯把 他記六角形幻方的紙張給弄丟了。

    亞當斯並不灰心，既然第一次擺出來了，第二次也肯定能擺出來。不料，這一丟失，亞當斯又用了5年，才第二次把六角形幻方擺出來（圖略），這時，時間到了1962年。

    亞當斯用了52年的時間，終於擺出了六角形幻方。圖上一共有15條連線，這15條連線上的數位之和分別均爲38。

    當這件事過去了7年後，有一位大學生阿萊爾用電子計算機，僅僅用了17秒就擺出來了；同時也得出，六角形幻方僅此一例，再沒有別的六角形幻方了。此幻方的稀有程度不得不讓人記住它。 

轉自YLL

唯一一個六角形幻方耶~!

之前就一直覺得幻方好美喔~

沒想到連六角形的都有~

真是太令人大開眼界了~

高斯與正十七邊型之尺規作圖

一七九六年的一天，德國哥延根大學，一個很有數學天賦的十九歲青年吃完晚飯，開始做導師單獨給他的每天例行的三道數學題。

前兩道題在兩個小時內就順利完成了。笫三道題寫在另一張小紙條上：要求只用圓規和一把沒有刻度的直尺，畫出一個正十七邊形。

他感到非常吃力。時間一分一秒地過去了，笫三道題竟毫無進展。這位青年絞盡腦汁，但他發現，自已學過的所有數學知識似乎對解開這道題都沒有任何幫助。

困難反而繳起了他的鬥志：我一定要把它做出來！他拿起圓規和直尺，他一邊思索一邊在紙上畫著，嘗試著用一些超常規的思路去尋求答案。

當窗口露出曙光時，青年長舒了一口氣，他終於完成了這道難題。

見到導師時，青年有些內疚和自責。他對導師說：「您給我的笫三道題，我竟然做了整整一個通宵，我辜負了您對我的哉培……」

導師接過學生的作業一看，當即驚呆了。他用顫抖的聲音對青年說：「這是你自已做出來的嗎？」青年有些疑惑地看著導師，回答道：「是我做的。但是，我花了整整一個通宵。」

導師請他坐下，取出圓規和直尺，在書桌上鋪開紙，讓他當著自已的面再做出一個正十七邊形。

青年很快做出一個正十七邊形。導師激動地對他說：「你知不知道？你解開了一椿有兩千多年的數學懸案！阿基米德沒有解決，牛頓也沒有解決，你竟然一個晚上就解出來了。你是一個真正的天才！」

原來，導師也一直想解開這道難題。那天，他是因為失誤，才將寫有這道題目的紙條交給了學生。

每當這位青年回憶起這一幕時，總是說：「如果有人告訴我，這是一道有兩千多年歷史的數學難題，我可能永遠也沒有信心將它解出來。」

這位青年就是數學王子高斯。

轉自YLL

紅色的部分是我自己括起來的~

這個故事每次看每次覺得天才與平凡人的差距是無法用世界上如此稀少的詞彙來形容的~(印象中當時他是18歲...)

他在年僅11歲的時候就發現了二項式定理 ( x + y )n的一般

情形，這裡 n可以是正負整數或正負分數。當他還是一個小學生

時就對無窮的問題注意了。(他11歲自己發現的東西讓我在不久前17歲的青春歲月下了不少苦功~)